دانلود پژوهش علمی *72- دانلود نمونه پایان نامه

در اینجا فرمول های تئوری برای استوانه بینهایت دی‎الکتریک با پوشش فراماده، تحت موج تابشی عمود بر محور استوانه را بیان می‎کنیم و نشان می‎دهیم که چگونه پوشش همگن فراماده، باعث کاهش ضریب پراکندگی این استوانه می شود.
شکل زیر استوانه دی الکتریک پوشیده شده با لایه ای از فراماده را نشان می‎دهد. استوانه داخلی دارای شعاع a، ثابت دی الکتریک ε1 و گذردهی مغناطیسی μ1 و K1=ωε1μ1و پوشش فراماده دارای شعاعb ، ثابت دی الکتریک εC و گذردهی مغناطیسی μC و KC=ωεCμC و در محیط خلاَ بیرون استوانه ثابت دی الکتریک ε0 و گذردهی مغناطیسی μ0 وK0=ωε0μ0 است. موج تخت تکفام با قطبش TM با زاویه φ0 نسبت به جهت مثبت محور x به استوانه بی نهایت می‎تابانیم. در محاسبات نهایی φ0=0 گرفته و جهت موج تخت را در راستای محورx درنظر می‎گیریم. برای قطبش TE با جابجا کردن ε و μ می‎توان روابط را محاسبه کرد.

شکل (2-2). استوانه نامحدود دیالکتریک، پوشیده شده با لایه ای از فراماده، موج تخت فرودی با زاویه φ0 نسبت به محور x به استوانه برخورد می‎کند]29[.
در این قسمت ابتدا میدان های تابشی، پراکندگی و عبور را برای هر سه ناحیه
a>ρ, b>ρ>a,b<ρ نوشته می‎شود. سپس از طریق معادلات ماکسول میدان مغناطیسی را برای هر سه ناحیه محاسبه می‎کنیم. پس از نوشتن میدانهای الکتریکی و مغناطیسی در هر سه ناحیه موجود، شرایط مرزی را برای میدان های الکتریکی و مغناطیسی، برای مرزهای ρ=a و ρ=b نوشته و از طریق شرایط مرزی، ماتریس پراکندگی را می‎نویسم و ضرائب an و bn و cn را بدست می آوریم. پس از بدست آوردن ضریب پراکندگی cn، آن را مینیمم کرده، یا به سمت صفر میل می‎دهیم. به این ترتیب سطح مقطع پراکندگی نیز مینیمم می‎شود. در نتیجه پوشش فراماده باعث حداقل شدن پراکندگی نور تابشی از سطح جسم شده است.
تحقیقات نشان می‎دهد که برای پوشش های مختلف فراماده با ε و μ های مختلف، مینیمم پراکندگی در γ مشخص (γ=ab) (نسبت شعاع استوانه داخلی به استوانه خارجی ) اتفاق می‎افتد.
2-2-1 روابط مربوط به میدان‎های الکتریکیمیدان فرودی:
میدان الکتریکی فرودی در جهت +z وجود دارد.
Ezi=E0e-jn(xcosφ0-ysinφ0) (2-1) Ezi=E0n=-∞+∞j-nJn(k0ρ)ejn(φ-φ0) (2-2)
Ezi=E0e-jk0(ρcos∅cos∅0+ρsin∅sin∅0)Ezi=E0e-jk0(cos∅cos∅0+sin∅sin∅0)
Ezi=E0e-jk0ρ cos⁡(∅-∅0) (2-3)
موج تخت حاصل را به صورت مجموع بینهایت تابع استوانه ای می‎نویسیم:
Ezi=E0e-jk0ρ cos⁡(∅-∅0)=E0n=-∞+∞anjn(k0ρ)ejn∅(2-4)
(2-5) am=اثبات رابطه (2-5)
رابطه (2-5) باید به گونه ای باشد، که رابطه (2-4) دارای دوره تناوب 2π برای زاویه φ باشد و در ρ=0 نیز محدود باشد. دو طرف رابطه (2-4) را در eimφ ضرب می‎کنیم. (m عدد صحیح هست و انتگرال را از صفر تا 2π می‎گیریم).
E002πe-j(k0ρcos∅-∅0+m∅)d∅=E002πn=-∞+∞anjn(k0ρ)ej(n-m)∅d∅(2-6)
E0 را حذف کرده و جای انتگرال را با سامیشن عوض می‎کنیم.
02πe-j(k0ρcos∅-∅0+m∅)d∅=n=-∞+∞anjn(k0ρ)02πej(n-m)∅d∅ (2-7)
در رابطه بالا شرط تعامد زیر برقرار است.
02πej(n-m)∅d∅=2π , n=m0 , n≠m(2-8)
سمت راست معادله (2-7) را به شکل زیر بازنویسی می‎کنیم.
n=-∞+∞anjn(k0ρ)02πejn-m∅d∅=2πamjm(k0ρ)(2-9)
از انتگرال زیر استفاده می‎کنیم:
02πej(zcos∅+n∅)d∅=2πjnjn(z) (2-10)
از تغیر متغیر زیر استفاده کرده و رابطه (2-9) را بازنویسی می‎کنیم.
02πe-j(k0ρcos∅-∅0+m∅)d∅=e-jm∅02πj-mj-m(-k0ρ) (2-11)
می‎دانیم که :
j-mx=-1mjm(x)jm-x=-1mjm(x)(2-12)
پس عبارت (11-2) را به شکل زیر می‎توان نوشت.
02πe-j(k0ρcos∅- ∅0+m∅d∅=e-jm∅02πj-mj-m-k0ρ=e-jm∅02πj-mjm(k0ρ)(2-13)
از رابطه های (2-7) و (2-9) و (2-13) نتیجه می‎گیریم که :
e-jm∅02πj-mjmk0ρ=2πamjm(k0ρ)(2-14)
بنابراین
am=j-me-jm∅0(2-15)
در نتیجه میدان فرودی را می‎توان به شکل زیر نوشت.
Ezi=E0e-jk0ρ cos⁡(∅-∅0)=E0n=-∞+∞anjn(k0ρ)ejn∅=E0n=-∞+∞j-njn(k0ρ)ejn(∅-∅0)(2-16)
میدان الکتریکی پراکنده شده و میدان عبوری و میدان درون استوانه دی الکتریک بینهایت
میدان پراکنده شده( میدان به ازای b<ρ ) و عبوری( میدان به ازای b>ρ>a ) از سطح استوانه بینهایت را به شکل زیر می‎نویسیم.
Ezs=E0n=-∞+∞j-ncnHn(2)(k0ρ)ejn(φ-φ0)(2-17)
Ezt=E0n=-∞+∞j-n[anJn(kcρ)+bnYn(kcρ)]ejn(φ-φ0)(2-18)
میدان درون استوانه دی الکتریک( میدان به ازای ρ<a ) به صورت زیر است.
Ez1=E0n=-∞+∞j-nFnJn(k1ρ)ejn(φ-φ0)(2-19)
2-2-2 روابط مربوط به میدان های مغناطیسیدر این قسمت از طریق معادلات ماکسول میدان‎های مغناطیسی را محاسبه می‎کنیم.
میدان مغناطیسی فرودی
(2-20)
(2-21)
بنابراین روابط میدان معناطیسی فرودی از طریق معادلات ماکسول به صورت زیر است.
Hφi=E01jωφ0K0n=-∞+∞j-nJn'(k0ρ)ejn(φ-φ0) (2-22)
میدان مغناطیسی پراکنده شده و عبوری
با توجه به روابط ماکسول بیان شده در بالا میدان‎های مغناطیسی به صورت زیر نوشته می‎شود.
Hφs=E01jωφ0K0n=-∞+∞j-ncnHn(2)'(k0ρ)ejn(φ-φ0)(2-23)
Hφt=E01jωφ0Kcn=-∞+∞j-n[anJn'kcρ+bnYn'kcρ]ejn(φ-φ0)(2-24)
میدان درون استوانه‎ی دی الکتریک به صورت زیر است:
Hφ1=E01jωφ0K1n=-∞+∞j-nFnJn'(k1ρ)ejn(φ-φ0) (2-25)
2-2-3 شرایط مرزی میدان های الکتریکی و مغناطیسی
در این قسمت شرایط مرزی میدان ها را در مرزهای ρ=a و ρ=b می‎نویسیم.
شرایط مرزی برای میدان های الکتریکی
درρ=aEztρ=a=Ez1ρ=aanJnkca+bnYnkca=FnJn(k1a)(2-26)
درρ=bEziρ=b+Ezsρ=b=Eztρ=bJnk0b+cnHn(2)k0b=anJnkcb+bnYnkcb(2-27)
شرایط مرزی میدان های مغناطیسی
درρ=aHφtρ=a=Hφ1ρ=akcμcanJn'kca+bnYn'kca=k1μ1FnJn'k1a(2-28)
درρ=bHφiρ=b+Hφsρ=b=Hφtρ=bk0μ0Jn'k0b+cnHn(2)'k0b=kcμcanJn'kcb+bnYn'kcb(2-29)
2-2-4 ماتریس پراکندگی
ماتریس ضرائب پراکندگی را از طریق شرایط مرزی نوشته شده می‎نویسیم و سپس ضرائب پراکندگی را بدست می آوریم.
anJnkca+bnYnkca-FnJnk1a=0(2-30)
anJnkcb+bnYnkcb-cnHn2k0b=Jnk0b(2-31)
kcμcanJn'kca+bnYn'kca-k1μ1FnJn'k1a=0(2-32)
kcμcanJn'kcb+bnYn'kcb-k0μ0cnHn(2)'k0b=k0μ0Jn'k0b(2-33)
JnkcaYnkcaJnkcbYnkcb 0-Jnk1a-Hn2k0b0 Jn'kcaYn'kcaJn'kcbYn'kcb 0-ζ1Jn'k1a-ζ0Hn(2)'k0b0 anbnCnFn= 0Jnk0b0ζ0Jn'k0b
سپس ضریبcn را از روش کرامر به دست می آوریم. پس از بدست آوردن ضریب پراکندگی cn، آن را کمینه کرده یا به سمت صفر میل می‎دهیم. به این ترتیب سطح مقطع پراکندگی نیز کمینه می‎شود. در نتیجه پوشش فراماده باعث حداقل شدن پراکندگی نور تابشی از سطح جسم شده است.
cn=ND(2-34) N =ζ1Jn'k1aJnk0b[(JnkcaYn'kcb-Jn'kcbYnkca-Jnk0bJnk1a[Jn'kcaYn'kcb+Jn'kcbYn'kca]
-ζ0Jn'k0bJnk1a[JnkcbYn'kca-YnkcbJn'kca] -ζ0ζ1Jn'k1aJn'k0b[JnkcaYnkcb-JnkcbYnkca(2-35) D =ζ1Jn'k1a-Hn2k0b[(JnkcaYn'kcb-Jn'kcbYnkca-Hn2k0bJnk1a[Jn'kcaYn'kcb+Jn'kcbYn'kca]
-ζ0Hn(2)'k0bJnk1a[JnkcbYn'kca-YnkcbJn'kca]
-ζ0ζ1Jn'k1a-ζ0Hn(2)'k0b[JnkcaYnkcb-JnkcbYnkca(2-36)
در عبارت بالا ζ0=μcε0μ0εc و ζ1=μcε1μ1εc است.
(2-37)
(2-38)
سطح مقطع پراکندگی از رابطه زیر بدست می آید ]49[.
Cs=2k0acn=-∞∞(cnTM2+cnTE2)(2-39)
ac شعاع پوسته است. همانطور که نشان داده شد، پراکندگی سطح مقطع کل از رابطه‎ی بالا بدست می‎آید. سطح مقطع پراکندگی Cs ، بوسیله ضریب پراکندگی تا مرتبه n=Nmax محاسبه می‎شود. زیرا ضریب پراکندگی بالاتر از مرتبه Nmax ، قابل چشم پوشی هستند]50[. مقدار Nmax با افزایش اندازه فیزیکی و الکتریکی جسم افزایش پیدا می‎کند. (Nmax≈k0ac) ]50[ به همین دلیل است که جسم های بزرگتر، پراکندگی سطح مقطع گسترده تری دارند. در حالت معمولی با قرار دادن یک پوشش مناسب روی جسم، علاوه بر بزرگتر شدن جسم، سطح مقطع پراکندگی آن نیز افزایش پیدا می‎کند. زیرا ضریب پراکندگی به جمع روی مرتبه های n=Nmax بستگی دارد. ولی همیشه این طور نیست و می‎توان با قرار دادن پوشش فراماده مناسب، سطح مقطع پراکندگی را کم کرد. اگر جسم به اندازه کافی کوچک باشد، تنها جمله n=1 را در بسط در نظر می‎گیریم. در این حالت، kcac≪1 و k0ac≪1 و ka≪1 می‎شود.
2-3 استوانه رسانا ( PEC )اگر به جای استوانه دی‎الکتریک استوانه PEC داشته باشیم، میدان درون استوانه PEC صفر است. میدان های تابشی و پراکندگی و عبوری و میدان های مغناطیسی را مانند روابط بالا نوشته می‎شود. و پس از نوشتن شرایط مرزی، ماتریس پراکندگی را می‎توان نوشت. به دلیل عدم وجود میدان درون استوانه PEC، ماتریس ضرائب پراکندگی در این قسمت 3×3 است.

در ماتریس بالا، μcεcμ0ε0=ζ است.
(2-40)
و
(2-41)
و
(2-42)
و
(3-42)
(2-44)
2-4 شرایط ایجاد شفافیت برای استوانه دی الکتریک و استوانه رساناهمانگونه که گفته شد، γ مشخصی(نسبت شعاع استوانه داخلی به شعاع استوانه خارجی) (γ=ab) وجود دارد که کمینه ضریب پراکندگی cn و کمینه پراکندگی در آن اتفاق می‎افتد، نسبت شعاع استوانه داخلی به استوانه خارجی را به گونه ای تعیین می‎کنیم، که ضریب پراکندگی صفر شود(اثبات در قسمت(2-8-2). در این روابط از توابع هنکل و بسل برای مقادیر کوچک kca<kcb≪1 و k0b≪1 استفاده می‎کنیم.
2-4-1 دسته بندی شرایط شفافیت برای قطبش های مختلف استوانه بینهایت (دیالکتریک و رسانا)شرایط شفافیت برای استوانه دی‎الکتریک برای قطبش TEzبه شکل زیر است.
c0TE: ba=μc-μμc-μ0 (2-45)
cn≠0TE: ba=2nεc-εεc+ε0εc+εεc-ε0(2-46)
c0TM: ba=εc-εεc-ε0(2-47)
cn≠0TM: ba=2nμc-μμc+μ0μc+μμc-μ0 (2-48) در این روابط، (ε,μ)پارامترهای ساختاری برای استوانه داخلی و (ε0,μ0) پارامترهای مربوط به پوشش فراماده هستند. اگر به جای استوانه دی‎الکتریک، استوانه PEC داشته باشیم، با اعمال شرایط حدی ε→-j∞ و μ=μ0 می‎توانیم شرایط شفافیت برای استوانه PEC را از طریق روابط بالا بدست آوریم.
(2-49) c0TE: ba=μcμc-μ0cn≠0TE: ba=2nεc+ε0ε0-εc(2-50)
cn≠0TM: ba=2nμc+μ0μc-μ0 (2-51)
این رابطه نشان دهنده این است که برای مرتبه صفرc0TM، شفافیت وجود ندارد. همانگونه که در روابط ذکر شده دیده می‎شود برای قطبش TEz، شرایط شفافیت به گذردهی مغناطیسی (μ) استوانه ها وابسته نیست، به عبارت دیگر هنگامی که استوانه ها از نظر الکتریکی بزرگ نیستند و در حالت ایستا هستند، برای قطبش TEو n≠0،cn≠0TE به استوانه بستگی ندارد. بنابراین μc=μ0 است. رابطه‎ی بالا را می‎توان به شکل زیر نوشت.
εc=1-γ2n1+γ2nε0(2-52)
به ازای εc مشخص می‎توان نسبت مناسب شعاع استوانه داخلی به شعاع استوانه بیرونی (γ=ab) برای رسیدن به شفافیت را محاسبه کرد.
به عنوان نمونه
=1.1 aca=εc-εεc-ε0εc-ε=1.12(εc-ε0)εc-3ε0=1.21(εc-ε0)εc-1.21εc=3ε0-1.21ε0-0.21εc=1.79ε0εc=-8.524ε02-4-2 اثبات رابطه (γ=ab) برای شفافیت برای استوانه دی‎الکتریک بینهایتشرایط شفافیت را برای استوانه PEC با قطبش TEZ در حد کوچکتراز طول موج ، از طریق صفر کردن ضریب پراکندگی cn، از روش زیر بدست می آوریم.
Numcn=0(2-53)
T1=-Jnk0bJnk1a[Jn'kcaYn'kcb+Jn'kcbYn'kca] (2-54)
(2-55) T2=-ζ0Jn'k0bJnk1a[JnkcbYn'kca-YnkcbJn'kca]
T3=ζ1Jn'k1aJnk0b[(JnkcaYn'kcb-Jn'kcbYnkca](2-56)
T4=-ζ0ζ1Jn'k1aJn'k0b[JnkcaYnkcb-JnkcbYnkca]=0(2-57)
T1+T2+T3+T4=0(2-58)
حال بسط تیلور به ازای مقادیر کوچک استفاده می‎شود.
Jnk0b=1n!(k0b2)n(2-60)
Jn'kca=1(n-1)!(kca2)n-1-1(n+1)!(kca2)n+12(2-61)
Ynkcb=-(n-1)!π(2kcb)n(2-62)
Yn'kcb=-n-2!π2kcbn-1+n!π(2kcb)n+12(2-63)
حال این توابع را در T4 و T3 و T2 و T1 جایگذاری می‎کنیم. به عنوان نمونه T1 به صورت زیر است.
T1=-Jnk0bJnk1a[1n-1!kca2n-1-1n+1!kca2n+12]×-n-2!π2kcbn-1+n!π(2kcb)n+12+1(n-1)!kcb2n-1- 1(n+1)!(kcb2)n+12×-n-2!π2kcan-1+n!π(2kca)n+12(2-64)
پس از صرب و ساده سازی توابع، به عبارت زیر بدست می‎آید.
T1=-Jnk0bJnk1a14π×-1n-1abn-1+nabn-14kcb2+ 1n+1nn-1abn-1kca24-1n+1abn+1+-1n-1ban-1+nban-14kca2+1n+1n(n-1)(ba)n-1(kcb)24-1(n+1)(ba)n+1 (2-65)
به دلیل اینکه kia≪1 , kib≪1 و در مخرج کسر وجود دارند، بنابراین تنها جمله های غالب درT1 را به صورت زیر است.
T1=-Jnk0bJnk1a14πn(ab)n-14(kcb)2+n(ba)n-14(kca)2(2-66)
مراحل بالا را برای T4وT3وT2 نیز به همین ترتیب اجرا می شود و عبارت های زیر به دست می‎آید.
(2-67) T2=-14πζ0Jn'k0bJnk1a×abn-12kcb+ban(2kca)T3=14πζ1Jn'k1aJnk0b×abn-12kca+abn(2kcb)(2-68) T4=-ζ0ζ1Jn'k1aJn'k0b×-ban1n+abn(1n)(2-69)
حال تقریبی برای مشتق توابع بسل موجود در پشت کروشه، نوشته می‎شود. به عنوان نمونه Jn'k0b :
Jn'k0b=1(n-1)!(k0b2)n-1-1(n+1)!(k0b2)n+12(2-70)
1(n-1)!(k0b2)n-1=1n!k0b2nn(2k0b)(2-71)
1(n+1)!(k0b2)n+1=1n!k0b2n1n+1(k0b2)(2-72)
1(n-1)!(k0b2)n-1-1(n+1)!(k0b2)n+1=1n!(k0b2)nn2k0b-1n+1(k0b2)≃1n!(k0b2)nn(2k0b)(2-73)
بنابراین داریم:
Jn'k0b≃1n!(k0b2)nn(2k0b)(2-74)
(2-75) Jnk0b=1n!(k0b2)nحال T4وT3وT2وT1 را به صورت زیر بازنویسی می‎کنیم.
T1=14π1n!(k1a2)n1n!(k0b2)nn(ab)n-14(kcb)2+n(ba)n-14(kca)2(2-76)
T2=-14π×ζ01n!(k1a2)n1n!(k0b2)nn(2k0b)abn-12kcb+ban(2kca)(2-77)
T3=14πζ1×1n!(k1a2)nn(2k1a)1n!(k0b2)nabn-12kca+abn(2kcb)(2-78)
T4=-14πζ0ζ11n!(k1a2)nn(2k1a)1n!(k0b2)nn(2k0b)×-ban1n+abn(1n)(2-79)
از آنجایی که T1+T2+T3+T4=0، بنابر این در هر چهار عبارت از جمله های مشترک فاکتور می‎گیریم. و مقادیر ζ1 و ζ0 را نیز جایگذاری می‎شود. سپس به جای ab=γ قرار میدهیم.

Related posts: